Leçons d'analyse
Leçons d'algèbre
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L'anneau Z, sous-groupes additifs de Z. Les idéaux de Z sont principaux, égalité de Bezout. Résolution dans Z des équations de la forme ax+by=c
Application du calcul différentiel à la recherche d'extrema (maximum et minimum) d'une fonction numérique d'une variable réelle. Exemples.
Méthodes d'approximation d'une solution d'une équation numérique réelle. Exemples.
Caractérisation de la fonction exponentielle x->exp(ax), où a appartient à R par l'équation différentielle y'=ay et une condition initiale. Applications.
Caractérisation des fonctions exponentielles par l'équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y). Applications.
Caractérisation des fonctions x^a, a dans R par l'équation fonctionnelle f(xy)=f(x)f(y). Applications.
Comparaison de fonctions au voisinage d'un point: domination, prépondérance, équivalence. Exemples.
Congruences dans Z. Anneaux Z/nZ.
Construction du corps Q des rationnels.
Croissance comparée des fonctions x->exp(x), x->x^a et x->ln x au voisinage de +K. Applications.
Définitions de l'ellipse, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions.
Définitions de l'hyperbole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions.
Définitions de la parabole, géométriquement et par équation réduite; équivalence entre ces définitions. Construction de la tangente et de la normale.
Dérivée en un point. Interprétation géométrique de ce nombre. Exemples.
Développements limités, opérations sur les développements limités.
Division euclidienne dans Z, unicité du quotient et du reste. Applications.
Emploi du calcul différentiel pour l'étude locale de la position de la courbe représentative d'une fonction par rapport aux tangentes et aux sécantes.
Etude des suites de terme général a^n, n^b et n!. Croissances comparées. Exemples de comparaison aux suites précédentes.
Fonctions à valeurs réelles continues en un point a de R. Opérations algèbriques, composition. Prolongement par continuité d'une fonction en un point. Image d'une suite convergente par une fonction continue.
Inégalité des accroisements finis. Exemples d'applications à l'étude de suites et de fonctions
Fonctions convexes.
Fonctions dérivées. Opérations algèbriques. Dérivée d'une fonction composée. Exemples.
Fonctions exponentielles.
Fonctions logarithmes.
Fonctions polynômes.
Fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle de R. Propriétés et exemples.
Formules de Taylor.
Image d'un intervalle par une fonction continue, image d'un segment. Continuité de la fonction réciproque d'une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
Limite à l'infini d'une fonction à valeurs réelles. Branches infinies de la courbe représentative d'une fonction. Exemples.
Nombres décimaux. Applications.
Nombres premiers; existence et unicité de la décomposition d'un nombre en facteurs premiers, infinitude de l'ensemble des nombres premiers. Exemples d'algorithmes de recherche des nombres premiers.
PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications.
Suites monotones, suites adjacentes. Application à l'approximation d'un nombre réel, en particulier au développement décimal.
Suites convergentes. Opérations algèbriques sur les limites. Composition par une fonction continue. Comparaison de suites entre elles.
Etude des suites définies par une relation de récurrence du type: u_(n+1)=au_n+b: terme général, discussion selon les valeurs de a et de b, somme des premiers termes, comportement asymptotique... Exemples.
Etude des suites définies par une relation de récurrence u_(n+1)=f(u_n) et une condition initiale.
Théorème de Rolle. Applications.
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Théorème de l'angle inscrit: ensemble des points M du plan tels que l'angle orienté de droites ou de demi-droites (MA,MB) soit constant. Cocyclicité. Application.
Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l'espace orienté: calculs de distances, d'aires, de volumes, d'angles...
Le cercle. Positions relatives d'une droite et d'un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vues.
Composées d'homothéties et de translations du plan. Relation vectorielle caractéristique. Groupe des homothéties-translations. Applications.
Introduction et construction du corps C des complexes. Propriétés.
Exemples de représentation paramétrique des coniques; constructions de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.
Définition de exp(z) pour z élément de C. Propriétés. Etude de la fonction de la variable réelle t->e^(it) et plus généralement de t->e^(at), où a est dans C. Applications. (Version algèbrique)
Définition de exp(z) pour z élément de C. Propriétés. Etude de la fonction de la variable réelle t->e^(it) et plus généralement de t->e^(at), où a est dans C. Applications. (Version analytique)
Droites remarquables du triangle: médiatrices, hauteurs, bissectrices, médianes...
Droites et plans dans l'espace. Equations. Positions relatives; plans contenant une droite donnée.
Ellipse déduite d'un cercle par affinité orthogonale dans le plan. Applications (en particulier, projection orthogonale d'un cercle dans le plan).
Equation cartésienne d'une droite du plan euclidien. Application à l'étude d'inéquations de la forme a cos t+bsin t>c.
Equation cartésienne d'une droite du plan. Problèmes d'intersection, parallélisme. Condition pour que trois droites soient concourantes.
Etude de la fonction où a, b, z sont complexes. Lignes de niveau pour le module et l'argument de la fonction f. Applications.
Groupe des isométries du plan: Décomposition d'une isométrie en produit de réflexions, groupe des déplacements, classification des isométries à partir de leur points invariants.
Homothéties et translations; transformation vectorielle associée. Invariants élémentaires: effet sur les directions, l'alignement, les distances... Applications à l'action sur les configurations usuelles.
Recherche des isométries du plan conservant un carré, un losange, un parallélogramme, un rectangle.
Recherche des isométries du plan conservant un polygone régulier; exemples (triangles équilatéral, carré, hexagone, octogone...).
Etude de l'application . Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité; application à la détermination du barycentre attachés à des configurations usuelles du plan, de l'espace.
Module et argument d'un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications.
Orthogonalité dans l'espace affine euclidien: droites orthogonales, droite orthogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications.
Fonction polynôme du second degré à coefficients réels. Mise sous forme canonique; application à l'étude du sens de variation et à la représentation graphique de la fonction. Equations et inéquations du second degré. L'exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l'utilisation d'une calculatrice.
Définition et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d'angles.
Produit vectoriel dans l'espace euclidien de dimension trois. Point de vue géométrique, point de vue analytique. Applications.
Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d'angles, optimisation...).
Racines n-ièmes d'un nombre complexe. Interprétation géométrique. Applications.
Etude des transformations du plan euclidien qui conservent les rapports de distance.
Réflexion du plan échangeant deux droites sécantes données; Bissectrices. Application au triangle et au cercle (cercle inscrit, tangente à un cercle...).
Réflexion de l'espace échangeant deux points donnés; plan médiateur, régionnement associé. Etude des isométries de l'espace ayant une droite de points invariants.
Réflexion du plan échangeant deux points donnés; médiatrice, régionnement associé. Application au triangle et au cercle (cercle circonscrit, angle inscrit...).
Réflexions et rotations du plan. Invariants élémentaires: effet sur les distances, l'alignement, les angles. Application à l'action sur les configurations usuelles.
Réflexions et rotations du plan. Invariants élémentaires: effet sur les distances, l'alignement, les angles. Application à l'action sur les configurations usuelles. (Version longue)
Réflexions et rotations de l'espace. Invariants élémentaires: effet sur les distances, les angles... Applications à l'action sur les configurations usuelles.
Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.
Relations métriques et trigonométriques dans un triangle quelconque. Applications.
Représentation géométrique des nombres complexes. Interprétation géométrique des applications , et où a et b sont des nombres complexes. Exemples d'applications à l'étude de configurations géométriques du plan.
Composée d'une homothétie de rapport positif et d'une rotation de même centre; effet sur les distances, conservation des angles orientés. Similitudes directes. Ecriture complexe. Groupe des similitudes directes.
Résolution des systèmes linéaires par opérations élémentaires sur les lignes. Méthode du pivot. Exemples.
Théorème de Thalès. Projection dans le plan et dans l'espace, caractère affine des projections.
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où a, b, z sont complexes. Lignes de niveau pour le module et l'argument
de la fonction f. Applications.
. Définition et propriétés du barycentre de n points pondérés. Associativité;
application à la détermination du barycentre
attachés à des configurations usuelles du
plan, de l'espace.
, 
et 
où a et b sont des nombres complexes. Exemples d'applications à l'étude
de configurations géométriques du plan.
